虽然被捞了，但我还是要给这门课打低分。

「我曾三度遭到背叛，因而懂得给分社区不过是欺瞒的幌子。」

「我的愤怒，绝不平息。」

「其一为wxm。我的不幸之源，我的『启蒙』。」

「其为打洞所左右，舍弃学不会QR分解的我。」

「“我不认同李尚志...”、“玩矩阵”、“...真办实事”，只是独断专行的托词。」

「两度涅槃的良机，皆埋葬于此疮痍之地。」

「其二为zlf。我的良师，我的敬爱。」

「其为大纲所困缚，视习题课为珍奇之物。」

「寒霜三月，竟无一言，但欲求索，乃不可得。」

「困而再起之志，终散入寻常云烟。」

「其三为lsp。我的期盼，羽翼尚未丰满的鸟雀。」

「其为外物所控制，违背与我的约定。」

「将散碎的尘埃揉作一团，掷于堂前，我只得逐粒拾起。」

「直至仓皇赴命的终焉之刻，仍无从窥探我将面对的渊薮。」

「我的胸膛不会再被世俗染指，摒弃掉卷王低劣的情感。」

「我空洞的部分，将如诞生之刻的纯白卷轴那般，以满载阅历的至高理性光辉来填满。」

「呵呵呵…哈哈哈哈！无需恐惧，疼痛只是一瞬。」

「唯GPA的时代…就要结束了。」 

《转生到科大，然后学习微分几何(H)》（想优先看课程评价的可以只看加粗部分）

序章：复分析(H)寄了，但学到了很多，值了！

第一章：我是分析人，必定让微分几何大败而归！

第二章：听说微几(H)讲得好给分也好，选它！

第三章：重生之wsr是我助教

第四章：他卷归他卷，当助教只要狂全点技能树就够了吧

第五章：助教对学生卖弱

第六章：大佬有点多，要不要选普通班旁听H呢？

第七章：助教要把旁听的踢出群（悲）

第八章：不换班了，干他就完了！

第九章：被黑笔批改的作业

第十章：作业有点难，我要听习题课！

第十一章：助教拒绝讲作业

第十二章：习题课？极小曲面！

第十三章：当然是问老师啦！

第十四章：老师被问流形的几何佬团团围住

第十五章：那年20，讲台边上，站着如喽啰

第十六章：奋斗期中，我要拿4+

第十七章：活动标架的记号背不下来

第十八章：考前奋斗一小时，我要背下所有记号！

第十九章：最难的 Riemann 符号背下来了哦耶！

第二十章：Christoffel 符号背错了，扣了20多分

第二十一章：一定是课选多了

第二十二章：别了，微分流形！

第二十三章：学不会流形≠学不好古典微分几何

第二十四章：沉淀！

第二十五章：早八上了10分钟厕所，回来再没听懂协变微分

第二十六章：发电子版作业忘记附件了

第二十七章：“再发一遍吧，不算迟交”——发自我的 iPhone 手机

第二十八章：整体微分几何，启动！

第二十九章：我作业呢？我问你我作业呢？

第三十章：已经三个周没有作业了，想它

第三十一章：微分流形：“你 好！”

第三十二章：给我学单位分解啊，三回啊三回！

第三十三章：在强烈要求下，老师终于布置习题了

第三十四章：噔噔咚，1月16号一天考三门，微几是晚上

第三十五章：大佬说切空间讲得稀里糊涂

第三十六章：示性类又是什么东西

第三十七章：怎么不发作业答案，别逼我求你QAQ

第三十八章：普通班微几给结构方程，H课注重技巧，一定也会给吧！

第三十九章：不给

第四十章：沉寂数日的助教说要从老师常出题的地方找题讲

第四十一章：拒绝发讲义

第四十二章：由于到课率高，还是发了，我们还得谢谢他咧

第四十三章：标架？Gauss-Bonnet？坐标卡？微分形式？积分？你猜猜我考什么

第四十四章：一问考试范围助教就装死

第四十五章：平时分公布，邮件发送失误给我按迟交算的-3分，遂battle

第四十六章：三天看三门，学不完了学不完了学不完了

第四十七章：连题都不布置，鬼知道他怎么考

第四十八章：赌上成绩！盲猜四五章是重点，外加一点流形

第四十九章：通宵！

第五十章：考线代前复习微几算不算一种ntr？

第五十一章：已经要死了，只想赶紧考完回去睡大觉

第五十二章：怎么还考二三章？

第五十三章：助教押的考点全都没考

第五十四章：算算如果拿1.0，绩点降多少

第五十五章：如果挂科是不是就没学上了

第五十六章：心脏没有那么脆弱，总还会有执着

第五十七章：大记忆恢复术！

第五十八章：定理记得，名字忘了，就写 Liebmann 吧

第五十九章：现推 Frenet 标架

第六十章：现推5个ω

第六十一章：现推 Gauss-Codazzi 方程

第六十二章：欸嘿，至少不至于挂科了

第六十三章：出分

第六十四章：只因把“毛球定理”写成“Liebmann 定理”扣了4分

第六十五章：喜提50+

第六十六章：有没有一种微小的可能，会开根乘十？

第六十七章：“你不要小看lsp对于线性调分的执着（滑稽）”

第六十八章：按照去年公式算出来，我需要16学分的4.3跟它对冲

第六十九章：334改235！本不富裕的总评雪上加霜

第七十章：我为什么要头铁选H啊 555~

第七十一章：放弃成绩机会用完了，wxm副教授真不要脸

第七十二章：说不定把最低捞成60，我也能沾个线性调分的光

第七十三章：好像挂了两个人（

第七十四章：235+10，我又活了

第七十五章：所以我放弃了几何

笑话几则：

1.

一位同学复习时抱怨道：“这种助教真差劲儿！！！！！”

结果被一位老师听到而遭逮捕。

同学辩解说：“我根本没讲是哪个助教，你怎么可以随便逮捕我呢？”

” 你少骗人，”老师咆哮道，“我在这里工作二十多年了，哪一个助教差劲我不会知道吗？”

2.

——什么在微几(H)是最常见的？ 　　　　

——暂时的爆算。

3.

昨天合肥市发生了地震，但学者们对此表示怀疑，因为合肥处在非地震带上。最后经过研究，并非是地震，而是今年微分几何(H)的全部讲义和参考书掉在了地上。

4.

wsr对其他微分几何助教夸口说：“我能解出你习题课补充的所有难题！”

那位助教说：“那又有什么，我能一秒钟内说出你未来4个月习题课要讲的所有作业题。”

5.

“我的室友已经在微分几何(H)学了三个月了。”

“哇，那他一定可以试着参加yau赛咯？”

“没有，他们刚开始计算第114个曲面的结构方程。”

6.

wsr在路上看到一个人华班概统人扛着一本GTM回家。他停下车，招呼那人，要那人把书卖给他。

“好吧，wsr助教。”那人说，“您选一本吧。”

“可只有一本书啊。”

“我们选您的时候就是这样。”

7.

两个数院学生对话：

——“我学过曲线和曲面论”

——“我学过微分几何(H)”

——“我学过拓扑学”

——“我学过微分几何(H)”

——“我学过 Riemann 几何”

——“我学过微分几何(H)”

——“我学过微分流形”

——“我学过微分几何(H)”

——“我每次习题课都去听助教讲作业”

——“我...我每次习题课都去听助教讲极小曲面系列报告”

8.

一位同学为了展现自己的聪明才智，提到：“我选了微分几何(H)。”

面试官微笑到：“原来你是华班的同学啊，失敬失敬。”

同学解释到：“不是，我是普通班的。”

面试官连忙改口：“那我想，你一定是想从事几何方向的学术研究吧？”

为了表现自己涉猎面广，同学骄傲地回答：“并不是，我是其他方向的。”

面试官瞬间沉下脸来：“那还选微几(H)？你的决策能力不满足我们的要求。下一位！”

道心为微几所破歌

今日微几好凄凉，一题多算我难逃。

稿纸纷飞撒五教，高者考完随意叫，下者试后独凄凉。

微分几何欺我算不力，忍能出题如导贼。

公然分数离我去，唇焦口燥呼不得，归来躺平自叹息。

俄顷风起天光出，冬日苦苦心寂灭。

暖气多年未寒铁，一想考试心里裂。

答题过程无对处，扣分如麻未断绝。

自经考试少睡眠，长夜沾湿何由彻！

安得水课千万间，大庇天下柯南俱欢颜，计算不难安如山！呜呼！何时眼前突兀见此物，吾试独难受苦累亦足！

235-2的来了，还是说每次按时交作业也会扣这么多平时分？我确实不太因为给分给课程打低分，但这课先用一个期中让人失望，再用一个简单期末给你希望，最后出分爆杀给人绝望，，，

\(\huge{\text{何意味？}}\)

🚀的拓扑也是给我这个分数，也是向下调两分，但是🚀是不愿给人94，我也知道他对95要求很高，但这课又是何意味呢？

这个版本的普班给4.3都极为慷慨，不限优秀率的H课却给不出几个4.3。。。

难道在十年后的今天我们还要传唱十年前的退🌸小曲吗，已无言

好吧确实是235, 因为期中成绩登记错了, 但是最后总评94, 我还能说什么呢… 最后提醒大家不要一个小时交卷吧, 本壬复H当时也是这样坠机的(悲

友情提示

本课程的课程链接，包括其他刘世平老师的课程主页，可以在下方的网站上找到：

Teaching-Liu

目录

本评课仍在施工，目前规划的部分如下。                                                           

友情提示

目录

告别语

前言

0. 课程信息

1. 课程内容：第一章

2. 课程内容：第二章

3. 课程内容：第三章

4. 课程内容：第四章

5. 课程内容：第五章

6. 作业和考试题的部分解答

7. 课程的后续建议

附录A：其他有用的评课链接

附录B：视频影像资料

附录C：ChatGPT生成的学习建议

附录D：一点无关的部分

附录E：辅助理解微分几何可以执行的计算机代码

附录F：其他

告别语

（7月13日特别更新）

（《鸿雁》音乐起）

可能今年的刘世平老师，要和微分几何(H)课说再见了。但我相信他那坚定的眼神，一定给所有在过去四年见证这一切的人留下不可磨灭的记忆。可能此时此刻，在东区322宿舍，在中区1号楼，在图书馆，在美食广场，在第五教学楼的厕所里，有无数的人为此感到悲伤。在浏览这门课评课的同学们，问问4年前的自己，陪你一起上课的同学还在吗？问问4年后的自己，当时自己许过的愿望都实现了吗？我们为什么深爱着微分几何(H)这门课？因为它不仅展现了数学科学学院学生们励志的奋斗故事，还寄托了我们普通人平凡生活中的英雄梦想。相信各位同学们们在老去后，坐在壁炉边，抱着自己的孙子给他讲中国科学技术大学的故事时，一定不会错过2025年的微分几何(H)课。我知道很多现在还在科大或者已经离开的同学都很不舍，但没有人可以永远保持在顶峰，保持着最高强度的授课。你也许可以敌过学生的问题，敌过教务处的投诉，敌过自己的时间安排，但你无法战胜时间老人。他的后辈，2013年才刚刚从清华大学博士毕业的杨迪，将会接过他的火炬，在第二教学楼，2506新的地板上书写属于他的传奇。新一代的科大数院人还将继续前进，朝着他们的微分几何(H)梦想前进，但对于现在的刘世平老师来说，是时候说再见了！让我们送别这样一位伟大的教授，祝愿他没有课的一学期，也能一切安好！这就是属于刘世平老师微分几何(H)的故事，观众朋友们，我们再见！

前言

在许多同学眼中有着这样一种观点，那就是古典微分几何已经过时，没有必要教授，学生也许可以去学一点诸如黎曼几何/黎曼曲面这样的课程。从使用频率这个角度上说，可以说古典微分几何已经过时，代数拓扑中Novikov之前的一些早期工作也可以说是过时的，我甚至听到申屠钧超老师说一些诸如Morse理论这样的东西现在也被认为是过时的。

但我想要指出的是，“过时”一词本身也是随着时代变化的。在几十年前的其他国家的syllabus上，还会有一些特殊函数的内容，如今也已经消失；过去人们可能要用汇编语言编程，但现在人们使用高级语言。但这并不代表着前两者不重要。如果从这个角度来说，我们现在教授的东西，也极有可能在未来过时。但是其中前人的智慧，却能够对未来的人们有所启发。没有特殊函数在十八世纪、十九世纪的大量使用和工作，很多物理上比如理论力学和电动力学的理论计算就无法进行下去，也不会有早期的二阶微分方程的一些研究，数论中的很多研究都无从谈起，复分析也不会出现在如今我们的syllabus上（从这个角度上说我对王兵老师的复分析课就会很推荐因为即便他本人不是做数论的他也会介绍zeta函数与Gamma函数那一节，质量也很高）。

Abel主张说，我们要向大师学习，而不是向他们的学生学习。是的，这就意味着我们不得不去窥探一些历史上的原始工作背后的想法，甚至包括一些错误。这些effort与尝试其实都是很重要的——这可能也是如今也会有一些学校开设数学史课程的初衷。

而刘世平老师的这门微分几何课程，毫无疑问就有种我上面说的“数学史课程”的影子。他的讲义并不完全是抄写/翻译教科书，而是真的尝试用一个无知者的视角，从一些idea和基本概念出发，尝试去解决微分几何想要研究的问题：曲线应该是什么样的？曲面应该是什么样的？外蕴地看曲线和曲面的样子是如何的？内蕴地看的话，假如我们置身于曲线和曲面内，我们的“生活”是什么样的？

诚然，似乎大二毕业后同学们都对微积分很了解，作为在三维欧氏空间中生活了近二十年的生物，应该也对三维空间的性质很了解。对于更抽象的高维几何或者是离散的几何，也许确实会陌生。这个课程处于一个合适的位置——它允许你使用你在过去生活中已经有过的直觉：什么是弯曲，什么是平坦。一个8岁的孩子可能不知道Gauss-Bonnet公式的严格表达形式，但是他应该知道平面上三角形内角和一定是180°，通过一点小小的努力他可能就能看出来球面上不是这样。从另一个角度上说，他也让同学们做了一些有点混乱看起来也没那么直观的计算，比如Gauss的绝妙定理。

刘世平老师讲义中还有一个很重要的特征，就是他的推导，很多都来自于真正最古老的一些想法，甚至直接引用原始文献中的话并给出原始的论文出处——这些内容会在讲义以大段的历史注记出现，读起来也很有韵味，文学性也很强。很多同学没有读过实在很可惜，我给大家列举几个例子，摘抄如下：

讲义 p.65-66 原文：

高斯接下来推到了高斯曲率（高斯称为 measure of curvature）的显式计算公式，实际上由简到繁四个公式。最简单的公式是在曲面表为\((u,v) \mapsto (u,v, f(u,v))\)形式时算得的，曲率\(K\)由五个不同的项给出。利用这个公式，高斯覆盖之前Euler关于曲面曲率的定理：（法曲率可表为两主曲率的线性组合）。“These conclusions contains almost all that the illustrations Euler was the first to prove on the curvature of curved surfaces.” 继续在曲面的其它表示下，高斯得到了用到9个不同项，和15个不同项的计算公式，并最终得到了第四个计算公式。简言之，这个公式说，曲率\(K\)可（仅）由\(E,F,G\)，和它们的一阶、二阶导数给出！！！也就是第一基本形式决定高斯曲率。"… Thus the formula of the prreceding article leads of itself to the remarkable Theorem. If a curves surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in the point remains unchanged." 注意：所谓"surface \(M\) is developed upon another surface \(N\)"，意即存在映射\(f: M \to N\)为等距映射（isometry）（保距离，i.e. 保第一基本形式）。"develop"是个非常形象的概念。这就解释了为什么圆柱面不弯曲，因为它局部与平面等距。高斯进一步评论在曲面几何的研究中，应该注意区分两个不同的方面：把曲面看作是“a flexible, though not extensible solid”，也就是把曲面上的第一基本形式固定，（not extensible），将曲面在空间中课弯曲（flexible）。一方面的几何式依赖于曲面在空间中的呈现形式，另一方面的几何是不依赖于上述呈现形式，而只依赖于 \(I\) （"the nature of a surface"）。"To these latter properties, the study of which opens to geometry a new and fertile field." 在这种几何里，平面和“a surface developable on a plane” 将被看作是相同的曲面，“内蕴几何”。作业：阅读高斯1827年文章摘要，浏览原文（主页已上传）“好读书，不求甚解，每有会意，便欣然忘食。”——陶渊明

讲义 p.130原文：

历史注记：Catenary一次来源于拉丁词catēna，意为“链”（chain）。Galieo曾猜测固定两端的一条重绳子其形状为抛物线（parabola）。（悬链线手绘图）Jungius于1669年否定了这一猜测。在1690/91年，为回答James Bernoulli的挑战，Huygens，Leibniz和John Bernoulli得到其所满足的方程。注意\(x=a\operatorname{cosh} z/h\)\(=a(e^{z/a}-e^{-z/a})/2=a/2(1+z/a+(z/a)^2 \frac{1}{2}+ … +1-z/a+(z/a)^2 \frac{1}{2})\)\(=a/2(2+(z/a)^2)+o(z^2)\)在\(z=0\)附近很接近于抛物线。Euler在1744年证明给定两个平行的circle，悬链面在上面两圆为边界的曲面中面积最小。（悬链面手绘图）

讲义 p.148原文：

注记：Christofffel是一位德国数学家，陈省身曾评价它“是一位开拓的大师”。他于1869年讨论两个二次微分式可通过独立变量变换相互转化时，引入了Christoffel符号。意大利数学家Ricci在1883-1888年间发表6片文章系统研究了Christoffel的方法。将Christoffel's algorithm 解释称“协变微分”。Ricci(1893)称之为“absolute differential calculus”。1901年，Ricci和他的学生Levi-Civita用法语将其成果发表。后来被称为“张量分析”。Levi-Civita于1916/1917认识到Christoffel符号的几何意义：决定向量沿流形（曲面）的“平行移动”。

讲义 p.256-257 原文：

Gauss-Bonnet 定理的高维推广：虽然Gauss曲率由曲面第一基本形式内蕴的定义，但它也可以外蕴的通过高斯映射来定义：回忆Gauss曲率实际上式高斯映射下相应有向面积元的比。（高斯映射的手绘图片）从这个角度来看量 \(\iint_{M} KdV\) 其实就相当于高斯映射的像在球面 \(S^2\) 上的依其面积元积分。（这里可以直接看出为什么球面上有 \(\iint_{S^2} KdV=\iint_{S^2} dV = 4\pi\)）实际上 \(\iint_{M} KdV= \deg g \int_{S^2} d\sigma =\deg g \cdot 4\pi.\) 这里 \(\deg g\) 为映射 \(g\) 的度，\(d \sigma\) 为球面上的有向面积元。当然这样的证明只适用于当 \(M\) 上的第一基本形式是由把 \(M\) 放入 \(E^3\) 中时，从 \(E^3\) 上诱导而来的情形。Heinz Hopf (1925) (Über die Cuvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math. Ann. (1925), 340-367)就是沿用这种方法，证明了 \(n\) 维超曲面 \(M^n \subset \mathbb{R}^{n+1}\)，\(n\) 为偶数，上 \(\int_{M^n} K_n dV=\deg g \cdot \operatorname{vol}(S^n)=\frac{ \operatorname{vol}(S^n)}{2}\cdot \chi(M_n).\) Allendoerfer (1940) (The Euler number of a Riemannian manifold, Amer. J. Math. 62(1940, 243-248) 和 Fenchel (1940) (On the total curvatures of Riemannian manifolds: I. , J. London. Math. Soc. 15(1940), 15-33) 独立证明了当 \(M^n\) 上的度量由嵌入 \(M^n \subset \mathbb{R}^{n+u}\) 诱导的 Gauss-Bonnet点的定理（注意：Nash 的嵌入定理知道1950s才出现）。Allendoerfer 和 Weil (1943) (The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polyhedra, Trans. Amer. Math. Soc. 53 (1943), 101-129) 证明了所有解析 \((C^{\omega})\) Riemann流形上Gauss-Bonnet定理。如果结合Nash的嵌入定理，Allendoerfer (1940) 和 Fenchel (1940) 的结果意味着Gauss-Bonnet定理对 \(C^{\infty}\) Riemann 流形都对。抛开Nash定理的复杂性不谈，上述证明方法有其根本上不令人满意的地方：用外蕴的方法证明一个内蕴的定理。1944年陈省身发表了他的结果（A simple intrinstic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds, Ann. of  Math, 54 (1944), 747-752）：用内蕴的方法证明了这个内蕴的定理。这是内蕴几何的伟大胜利。陈省身用了Cartan的活动正交标架法，和曲面 \(M^n\) 的单位切丛（是一个 \(2n-1\) 维流形）。“一举成名天下知”，永垂不朽。

以上都是我自己摘抄下来的片段。从中可以看出，刘世平老师希望传递给我们的，不仅是数学概念，还有概念的来源，以及人们历史上对它们的想法。其实历史上的数学家和我们如今看问题也大同小异，着眼点、入手点也会很类似，只不过他们出生的年代数学没有发展起来。对于那个时候的人们来说，用微积分研究几何必然会导向这样的结果。我们说它古典，但其实如果将我们这些现代人传送回那个年代，我想，大概做出的结果也会是类似的，只是个体的书写风格会有所差异。

从这个角度来说，我认为刘世平老师的古典微分几何课是可以保留的。而且，特别地，这种教授微分几何的方式要传承下去——这一点比课程本身的内容还要重要。

这份讲义中可能存在的瑕疵是有太多重复的计算，甚至于同一个计算在不同的地方算了三遍以上，也有一些“废招”，比如计算某两个矩阵乘积的行列式时，没有直接将两个矩阵的行列式相乘而是乘起来再算行列式。但瑕不掩瑜。即便对于即为熟练的人来说，在日常计算中经常反复走回头路也是常有之事。退一步来说，浪费了一丁点的时间，也make no difference。后来我身边的同学问过刘世平老师这个问题，他说其实是他故意留下的，我个人也是完全支持这种做法的。

如果你要问我，学完这门课后有什么感悟。我也说不出来太具体的东西。可能大概就是觉得：我曾经来过吧。至少我可能一辈子都不会被上下标乱飞的Einstein求和规定弄混，以及永远不会忘记Chrristoffel符号的几何含义吧。

这个学期的期末考试，应该来说，难度并不算特别大。教授的内容来看，比起往年多了一小部分，但是都没有考。我个人衷心地向大家推荐来听这门课，即便不正式选，也不妨来到课堂上看一看，或者看一看讲义。今年就有一位来自工院的同学，全程参与了课程。这是一个很好的现象。我坚定地相信，微分几何课程，一定会更加完善，做得更好。

0. 课程信息

刘世平，1984年7月21日出生在中国山东，自2016年始在中国科学技术大学工作，教授，博士生导师。邮箱：spliu@ustc.edu.cn。由于2025年数院轰轰烈烈的移民新楼运动，现在刘世平老师的办公室现在位于数学楼401（曾经在管理科研楼1611）。博士期间的导师是著名的Jürgen Jost教授。现在刘世平老师的兴趣在一些更偏向组合/图论的离散几何分析上，前几天我还看到他在看一些van Handel的工作，书架上也摆了很多数学家比如Whitney等人的collected works。关于他的更多个人信息可以在主页上找到：http://staff.ustc.edu.cn/~spliu/

顺便一提2025秋季学期这门课的唯一助教是周驰宇，2023年刚刚成为刘世平老师的博士生。这门课选课人数不多所以应该助教工作也会很轻松。周驰宇助教的工作还是很认真的，至少我写的很多有gap或者过于lazy的证明他也会表示希望我写清楚一点，还会纠正作业中出现的typo之类。批改作业方面我的作业回复的时间的中位数是一周左右。但是周驰宇助教的工作不包括以下这些：完整详尽的作业答案，习题课讲义。

2025年秋季，这门课目前（2026年1月16日）没有公布期末考试成绩分布。期中考试分布如下：参考31人之中，7人分数位于60-69分区间，12人分数位于70-79分区间，8人分数位于80-89分区间，4人分数位于90-99分区间。整体来看考试的难度期末与期中类似，处于一个难度较低的水平（也有同学认为处于一个正常的水平，我这里的处于难度较低水平是指横向与中国科学技术大学其他试卷难度较高的数学课程比如处于同年级同学期的课程黄文老师的泛函分析H而言），计算量也处于一个很低的水平（也有同学认为处于一个正常的水平，我这里的计算量处于很低水平是指被刘世平老师称为“本课程的高潮”的Gauss绝妙定理的证明相比，或者横向与中国科学技术大学其他需要计算量的课程比如其他物理课程如电磁学B相比而言）。期末的题目包括有：一个Jacobi's remarkable curve theorem 中出现的对于高斯映射后得到的主法向量产生曲线的曲率的计算，一个Ennerper曲面的第一基本形式和第二基本形式的计算，一个Hilbert引理证明中出现的Gauss-Codazzi方程在正交活动标架下通过微分得到恒等式的计算，一个整体Gauss-Bonnet定理的运用说明非同胚于球的紧致联通曲面必然包含有椭圆点、抛物点和双曲点的说明，一个局部Gauss-Bonnet定理证明极小曲面上单连通区域内两条测地线交于两个点为不可能的证明。我个人在期末考试中因为第一题的计算疏忽出现错误被扣了2分，取得了98分的成绩。应该来说，对于计算细心和认真复习的同学，在2025年秋季学期中在本课程中取得不错的成绩还是很有可能的。

谈到微分几何(H)这门课，在中国科学技术大学直到2022年这门课才称为刘世平老师的专属，听起来刘世平老师带这门课的经历看起来不是很丰富，但事实上此前他带过很长一段时间的普班的微分几何课程，内容上应该也可以算在一门课的范畴。整体上使用的教材是彭家贵、陈卿老师留下的微分几何书，但其实刘世平老师完全follow他自己改写过的讲义。每次上课的时候，刘世平老师应该都会带上几页他过去写下的讲义。这份讲义的原文也可以在本课程的评课社区下方找到。

刘世平老师是那种典型的讲课很慢但是并不拖沓的老师，也不会掺杂太多的废话。期中考试前的内容大概是前三章：第一章欧氏空间，第二章曲线的局部理论，第三章曲面的局部理论。可能考察的内容相对没有那么多。期末考的内容大概是后两章：第四章介绍标架和曲面论基本定理，第五章介绍曲面上的内蕴几何学比如Gauss-Bonnet公式的部分。

刘世平老师的讲义完全为手写，基本上使用中文，但是和很多人糟糕的字迹形成鲜明对比的是，刘世平老师的手迹不但极为清楚，版面也非常规整，使得这份讲义虽然为手写讲义但是可读性却很高。我十分推荐大家去看一下。当然可能大家的意见和我不一样，对手写讲义这件事本身的看法也更接近于个人观点，至少我身边几个同学都是还愿意看的并且看法也差不多，其他同学的情况我不甚清楚就不多说了。

2025年秋季课程的时间是周二的下午6、7节和周四早上的1、2节。许多同学自然早八是起不来的，或者干脆起来了也不去上课。有一次周四早上的课直接只有一个人来听了，当然刘世平老师也还是认真教了下去。我再给大家分享一个课程中的故事。有一次周四早八课，我来的时候赵喆桢同学一直在追问刘世平老师问题。刘世平老师认真回答了赵喆桢同学的问题，但赵喆桢同学屡问不止，而且可能是因为问的问题大概都在几个月之前的课上提过，刘世平老师罕见地在课上发火。发火的内容大概就是说学生们又不来听课，结果来问这种问题，好像完全不把学习放在心上。当然可能这个故事给在场的人留下的印象大多是赵喆桢同学的问题听起来有点蠢，但我个人也看到刘世平老师似乎对他的教学是很看重的并且认真准备的。不过我说这个故事并不是说刘世平老师是一个性格不好的老师，恰恰相反，刘世平老师是个十分谦和的老师。我虽然没有问过他问题，但是对他回答那个工院来选课的同学的问题时候的耐心印象深刻。

作业的量的话，2025年秋季学期一共有18个教学周，在期间本课程一共布置了整整十五次作业。周驰宇助教对作业提交时间的要求是：迟交作业不得晚于一周。现列举全部十五次作业的内容如下：

第一次作业：

DG_HW1.pdf

第二次作业：

DG_HW2.pdf

第三次作业：

DG_HW3.pdf

第四次作业：

DG_HW4.pdf

第五次作业：

DG_HW5.pdf

第六次作业：

DG_HW6.pdf

第七次作业：

DG_HW7.pdf

第八次作业：

DG_HW8.pdf

第九次作业：

DG_HW9.pdf

第十次作业：

DG_HW10.pdf

第十一次作业：

DG_HW11.pdf

第十二次作业：

DG_HW12.pdf

第十三次作业：

DG_HW13.pdf

第十四次作业：

DG_HW14.pdf

第十五次作业：

DG_HW15.pdf

以上大致是对本课程在2025年秋季学期诸多信息的一个简单的介绍，可能并不全面，大致能反映目前我所看到的一些情况。下面让我来介绍本课程的主要内容。

1月18日勘误：办公室地址不慎打错了。现已更正。

1. 课程内容：第一章

第一章叫做欧氏空间，内容大部分真包含于数学分析中，可以略去。需要注意这里引入的一些记号，比如在这门课中，使用\(\cdot\wedge\cdot\)符号来表示外积，使用\(\langle\cdot,\cdot\rangle\)符号表示内积，使用 \((a,b,c)=\langle a,b \wedge c\rangle\) 表示混合积。需要熟记外积内积的定义，以及这当中需要熟练使用的运算性质主要是以下几条：

\(a\wedge(b\wedge c)=\langle a,c\rangle b-\langle a,b\rangle c\)

\(\langle a\wedge b,c\wedge d\rangle = \det \begin{pmatrix}\langle a ,c\rangle &\langle a,d\rangle\\\langle b,c\rangle & \langle b,d\rangle\end{pmatrix}\)

\((a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)\)

我个人是不太喜欢这个混合积的记号的，因为很可能会和普通坐标记号之间产生混淆。

2. 课程内容：第二章

第二章主要来介绍经典的曲线论的内容。曲线论主要分成两段：前面一段比较简单，介绍平面曲线；后面一段略多一点内容，介绍三维空间中的曲线。我们需要学会弧长参数化这一有力工具。刻画平面曲线的量是曲率。曲率对应相同的平面曲线可以通过等距变换同构。刻画三维空间中的曲线需要更多的量。除了描述曲线的沿着某个所谓主法方向的弯曲程度，还要考察这个曲线离开主法方向和切方向张成平面的速率，称为挠率。这里我们特别要提到所谓的正则曲线的含义。在微分几何中，“正则”一词的含义为某种一阶导数的非退化条件。微分几何中正则曲线严格的定义为对于任意的正则参数之下，\(r \wedge r' \neq 0\) 永远成立。反例可以是像 \(y^2-x^3=0\) 这样的带有尖点的曲线，取参数化 \(y=t^3,x=t^2\) 后\(r=(t^2,t^3),r_t=(2t,3t^2)\)。这里的下标\(t\)代表对参量\(t\)求偏导数。那么 \(t=0\) 时二者皆为零，因此非正则点。最简单的曲线自然是直线与圆。圆的方程形如一个二次方程，并且直观上给予我们以弯曲的印象。这就是在平面曲线中我们引入曲率的理由。首先我们考虑一条平面曲线。比如说，\(r(t)=(x(t),y(t))\)。我们希望用一个半径为\(R\)的圆去逼近这条曲线，这就是所谓的密切圆（osculating circle），\(R\)被称为曲率半径。比如我们假设 \(r(t_1),t(t_2),r(t_3)\) 这三点不共线，我们作出过这三点的圆，然后确定其圆心，记为 \(C(t_1,t_2,t_3)\) ，那么这个圆的半径之平方就是 \(\langle r(t_i)-C(t_1,t_2,t_3),r(t_i)-C(t_1,t_2,t_3)\rangle\) ，当然下标 \(i\) 可以是任意的。我们再让 \(t_1,t_2,t_3\) 逼近于同一个点 \(t_0\) 应该就能给出这个点的曲率半径。我们可以用一点技巧。这里如果我们把它当成一个函数\(t \mapsto \langle r(t)-C(t_1,t_2,t_3), r(t)-C(t_1,t_2,t_3)\rangle\)，那么由Rolle中值定理你可以找到两个 \(\xi_1,\xi_2\) 介于这三个参数之间使得导数消失也就是\(0=\langle r'(\xi_i),r(\xi_i)-C(t_1,t_2,t_3)\rangle\)成立。那么你可以再用一次Rolle中值定理，得到存在 \(\)\(\eta\) 介于这两者之间使得 \(0=\langle r''(\eta),r(\eta)-C(t_1,t_2,t_3)\rangle+\langle r'(\eta),r'(\eta)\rangle\) ，这样我们至少得到了 \(\langle r'(t_0),r(t_0)-C\rangle=0,\langle r''(t_0),r(t_0)-C\rangle=-\langle r'(t_0),r'(t_0)\rangle\) 。进一步地，如果你使用了弧长作为参数，那么\(\langle r',r'\rangle=1\)恒成立，自然\(\langle r'',r'\rangle=0\)，那么自然\(r''\)和\(r'\)共线，通过这一点不难得出\(|r''(t_0)|=\frac{1}{|r(t_0)-C|}\)，我们就定义以弧长\(s\)为参数时平面曲线的曲率为\(|r''(s)|\)。

接下来一个很重要的部分是所谓的Frenet标架。也就是在我们使用弧长作为参数后，我们还在给定点 \(r(s)\) 选择依赖于曲线自身切方向的坐标系，切方向选单位向量 \(t(s)\) ，而对应右手系旋转方向选单位法向量 \(n(s)\) 。通过求导可以得到对应的标架方程，形如 \(t'(s)=\kappa(s)n(s),n'(s)=-\kappa(s)t(s)\) ，不难看出这里的 \(\kappa(s)\) 就是曲率，但要注意这里是有符号的差别的（比如，逆时针旋转和顺时针旋转会差正负号）。

之后我们要来介绍三维空间中的曲线。我们举一个例子，所谓的twisted cubic，形如 \(r(t)=(t,t^2,t^3)\)，你会注意到它大致以一种类似于弹簧螺旋的方式嵌入三维空间中。如果你观察\(r'(0)=(1,0,0),r''(0)=(0,2,0)\)，说明 \(t=0\) 时曲线在 \(xy\) 平面上弯曲，但是实际上曲线又有某种离开平面的趋势。前者和平面曲线弯曲类似，我们仍称之为曲率，后者就是所谓的挠率。

这个时候我们没有什么带符号的说法，同样我们取弧长作为参数，直接定义曲率为\(\kappa(s)=|r''(s)|=|t'(s)|\) ，当然我们也可以用方程的方式来写，如果用Frenet标架符号就是 \(t'(s)=\kappa(s)n(s)\) ，这个时候的法向量\(n(s)\)被称为主法向量。我们直接简单作右手系，得 \(b(s)=t(s)\wedge n(s)\) ，称为副法向量。（注意这些都是单位向量）这样就得到了三维空间中曲线的一个正交标架，仍然叫Frenet标架。

由于这是一组标准正交基，那么变换矩阵一定形如一个正交矩阵，求导后得到一个 \(3\times 3\) 反对称矩阵，但由于我们的向量选取方式实际上我们已经去掉了右上角和左下角的分量，所以会得到这样的结果：

\(\begin{pmatrix}t' \\ n' \\b'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0  & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}t \\ n \\b\end{pmatrix}\).

这被称为Serret-Frenet公式。我们称这里的 \(\tau\) 为挠率，容易看出它就是我们之前提到的这种曲线离开密切平面的速率。比如说如果挠率 \(\tau\) 恒为0那么这就是一条平面曲线（这实际上是充要条件，一个容易的习题）。

当然如果不是弧长参数也可以计算，有相应的公式 \(\kappa=\frac{|r'\wedge r''|}{|r'|^3},\tau=\frac{(r',r'',r''')}{|r'\wedge r''|^2}\) 。使用常微分方程中解的存在唯一性定理可以得到所谓曲线论基本定理，也就是用曲率和挠率可以确定这条空间曲线。非常重要的一点是，这两个量并不依赖于坐标或者参数的选取，说明它们是由曲线自身决定的，这样的量才是我们要决定的。

3. 课程内容：第三章

第三章介绍曲面的局部理论。当然这里的曲面都是三维空间中的曲面，比如 \(r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) ，所有的分量都光滑。为了保证正则性，我们需要条件 \(r_u \wedge r_v\neq0\) 。这里我们写 \(r_u=(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}),r_v=(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})\) 。当然也有不满足正则性存在奇点的曲面，比如圆锥面这样的东西，但我们考虑局部理论也可以先看光滑的部分。

顺便一提，参数变换下\((r_u,r_v)\)之变换矩阵称为Jacobi矩阵，行列式也叫做Jacobian。如果参数变换光滑且逆也光滑，那么Jacobian就处处不为零。

那么我们现在也有所谓的自然标架，只要我们再加上 \(r_u \wedge r_v\) 这个向量，当然它远不是单位正交的。我们也可以列出运动方程，不过这会比较复杂我们留在下一章，我们首先要介绍关键的几个量。

首先我们可以将 \(r_u \wedge r_v\) 单位化，也就是得到 \(n(u,v)=\frac{r(u,v)}{|r(u,v)|}\) ，称为单位法向量，而从 \(r(u,v)\) 到 \(n(u,v)\) 的映射也称为Gauss映射。这大概是Gauss研究天文学的时候发现的。（你可以想象人去观测天上的星星，但地球实际上是个球所以天文学上有天球的概念，你实际上观测的是天球上的轨迹）Gauss定义了曲面上一个点的曲率就是Gauss映射的Jacobian，即某点附近一小片区域的Gauss映射之像有向面积和该区域自身有向面积之比在这片区域包含该点且面积趋于0时存在之确定极限，通过这个定义很容易证明，一个半径为 \(a\) 的球面，其曲率为 \(\frac{1}{a^2}\) ，这多少符合我们的直觉，半径越大弯曲程度越小，并且多少和这个球面的面积成反比（在随后的整体微分几何的一节中我们会提到，对于同胚于球面的曲面，曲率的积分确实是一个定值 \(4\pi\) ）。

本章最精彩的定理属于以下的Gauss绝妙定理。

4. 课程内容：第四章

第四章是关于标架和曲面论基本定理。我这里使用的记号可能会与讲义上有极微小的区别，带有我个人的喜好，但这样会让符号一致不会让我混淆。

曲面的自然标架由曲面上两个切方向向量 \(r_{1}\) 与 \(r_{2}\) 与它们的单位法向量\(n=\frac{r_{1} \wedge r_2}{|r_{1}\wedge r_{2}|}\)得到。第一基本形式的系数 \(g_{\alpha \beta}=\langle r_{\alpha},r_{\beta}\rangle\)，而第二基本形式的系数写为\(b_{\alpha \beta}=\langle r_{\alpha \beta}, n\rangle=-\langle r_{\alpha}, n_{\beta}\rangle\)。

根据Einstein求和约定，也就是上下标各出现一次视为哑指标，我们约定

\(g^{\alpha \beta}g_{\beta \gamma}=\delta^{\alpha}_{\gamma}\).

接下来我们推导自然标架运动方程。我们应该有如下定理。

\(r_{\alpha \beta}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta}r_{\gamma}+b_{\alpha \beta}n\).

\(n_{\alpha}=-b^{\beta}_{\alpha}r_{\beta}\).

这里我们约定

\(b^{\beta}_{\alpha}=b_{\alpha \gamma}g^{\gamma \beta}\).

这里的 \(\Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta}\) 被称为Christoffel符号，就被定义成这里的系数。

在证明之前，我们先来解说一下这些记号的几何含义。

第一基本形式定义了曲面在 \(u^1,u^2\) 局部坐标下的一个度量。但是我们知道切向量在曲面上移动的时候会发生一些变化，这种变化来自于两个方面：参数线本身的弯曲（切向部分）和曲面沿着参数线方向的弯曲（法向部分）。前者体现为Christoffel符号，后者体现为第二基本形式。

以下是证明。

首先，\(\langle n_{\alpha},n\rangle =0\) 由对 \(\langle n,n \rangle=1\) 求导可得。因此 \(n_{\alpha}\) 可以写成 \(r_{\alpha}\) 与 \(r_{\beta}\) 线性组合，如果记 \(n_{\alpha}=D^{\beta}_{\alpha}r_{\beta}\)，那么得 \(-b_{\alpha\gamma}=\langle n_{\alpha},r_{\gamma}\rangle =D^{\beta}_{\alpha} g_{\beta\gamma}\)。两边同时乘以 \(g^{\gamma \delta}\) 可得。另一条方程直接。

证毕。

接下来我们给出内蕴的Christoffel表达式，也就是不依赖于外在的向量 \(r_{\alpha}\) 只使用度量矩阵 \(g_{\alpha\beta}\) 的导数来表达。

我们有如下定理。

\(\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{ \gamma\delta}\left(\frac{\partial g_{\alpha \delta}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial u^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^{\delta}}\right).\)

证明如下。

首先我们写出所有的度量矩阵导数。

\(\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}=\langle r_{\alpha \gamma},r_{\beta}\rangle+\langle r_{\beta\gamma},r_{\alpha}\rangle\).

轮换一下得到了

\(\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}=\langle r_{\alpha \beta},r_{\gamma}\rangle+\langle r_{\beta\gamma},r_{\alpha}\rangle\).

\(\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}=\langle r_{\alpha \beta},r_{\gamma}\rangle+\langle r_{\beta\gamma},r_{\alpha}\rangle\).

三个等式做线性组合后得到了

\(2\langle r_{\alpha \beta},r_{\gamma}\rangle=\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\beta \gamma}}{\partial u^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}\).

两边同时再乘以第一基本形式系数 \(g_{\gamma \delta}\) 可得。

证毕。

接下来我们推导曲面的结构方程。换言之，让写出来这些内蕴系数形成一个曲面的条件。自然想到它们来自于偏导数可以交换顺序，也就是

\(r_{\alpha\beta}=\frac{\partial}{\partial u^{\beta}}r_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}r_{\beta}\).

\(\frac{\partial}{\partial u^{\gamma}}r_{\alpha \beta}=\frac{\partial}{\partial u^{\beta}}r_{\alpha \gamma}\).

\(\frac{\partial}{\partial u^{\beta}}n_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}n_{\beta}\).

第一条是一个基本的条件，意味着 \(\Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta}=\Gamma^{\gamma}_{\beta\alpha},b_{\alpha \beta}=b_{\beta\alpha}\)。这个条件可以理解为：\(du^{1}\) 沿着 \(du^{2}\) 方向移动的增量和 \(du^{2}\) 沿着 \(du^{1}\) 方向移动的增量相同（也就是偏导数相等的含义）。

对于第二条，我们直接验证：

\(\begin{align*}  &\frac{\partial}{\partial u^{\gamma}}r_{\alpha \beta}=\frac{\partial}{\partial u^{\gamma}}\left(\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta} r_{\delta}+b_{\alpha \beta}\right)\\  =&\frac{\partial\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}r_{\delta}+\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}\frac{\partial r_{\delta}}{\partial u^{\gamma}}+\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}n+b_{\alpha \beta} \frac{\partial n}{\partial u^{\gamma}}\\  =&\frac{\partial\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}r_{\epsilon}+\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}\left(\Gamma^{\epsilon}_{\gamma \delta}r_{\epsilon}+b_{\gamma \delta}n\right)+\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}n-b_{\alpha \beta}b_{\gamma}^{\epsilon}r_{\epsilon}\\  =&\left(\frac{\partial\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}+\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}\Gamma^{\epsilon}_{\gamma \delta}-b_{\alpha \beta}b_{\gamma}^{\epsilon}\right)r_{\epsilon}+\left(\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta} b_{\gamma \delta}-\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}\right)n.  \end{align*}\)

因此我们得到如下结果。

\(\frac{\partial\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}+\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}\Gamma^{\epsilon}_{\gamma \delta}-b_{\alpha \beta}b_{\gamma}^{\epsilon}=\frac{\partial\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \gamma}}{\partial u^{\beta}}+\Gamma^{\delta}_{\alpha \gamma}\Gamma^{\epsilon}_{\beta \delta}-b_{\alpha \gamma}b_{\beta}^{\epsilon}\)

\(\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta} b_{\gamma \delta}-\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}=\Gamma^{\delta}_{\alpha \gamma} b_{\beta \delta}-\frac{\partial b_{\alpha \gamma}}{\partial u^{\beta}}\)

前者称为Gauss方程，后者称为Codazzi方程。简单来说，Gauss方程关心“切-切分量”关系，也就是 \(u^{1},u^{2}\) 的二阶偏导数交换性，在分量上被体现为Christoffel符号 \(\Gamma\) 的非交换性被 \(b\) 所补偿。Codazzi方程关心“切-法分量”关系，也就是 \(b\) 的非交换性被 \(\Gamma\) 所补偿。而我们不需要“法-法分量”关系（Ricci方程），因为三维空间中的二维曲面法向量空间是一维的只有 \(n\)。

再看第三条。

\(\begin{align*}  &\frac{\partial}{\partial u^{\beta}}n_{\alpha}=-\frac{\partial b^{\gamma}_{\alpha}}{\partial u^{\beta}}r_{\gamma}-b^{\gamma}_{\alpha}\frac{\partial r_{\gamma}}{\partial u^{\beta}}\\  =&-b^{\gamma}_{\alpha}\left(\Gamma_{\beta\gamma}^{\delta}r_{\delta}+b_{\beta \gamma} n\right)-\frac{\partial b^{\delta}_{\alpha}}{\partial u^{\beta}}r_{\delta}\\  =&-\left(b^{\gamma}_{\alpha}\Gamma_{\beta\gamma}^{\delta}+\frac{\partial b^{\delta}_{\alpha}}{\partial u^{\beta}}\right)r_{\delta}-b^{\gamma}_{\alpha}b_{\beta \gamma} n.  \end{align*}\)

那么应该有

\(b^{\gamma}_{\alpha}\Gamma_{\beta\gamma}^{\delta}+\frac{\partial b^{\delta}_{\alpha}}{\partial u^{\beta}}=b^{\gamma}_{\beta}\Gamma_{\alpha\gamma}^{\beta}+\frac{\partial b^{\delta}_{\beta}}{\partial u^{\alpha}}\)

\(b^{\gamma}_{\alpha}b_{\beta \gamma}=b^{\gamma}_{\beta}b_{\alpha \gamma}.\)

我们来证明这两条公式是之前的公式的推论。首先我们知道 \(b^{\gamma}_{\alpha}=b_{\delta \alpha}g^{\delta \gamma}\)，所以

\(b^{\gamma}_{\alpha}b_{\beta \gamma}=b_{\beta \gamma}b_{\delta \alpha}g^{\delta \gamma}.\)

右边当然是关于 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 对称的，这就证明了后者。而前者可以由Gauss-Codazzi方程推出。

\(b^{\gamma}_{\alpha}\Gamma_{\beta\gamma}^{\delta}+\frac{\partial b^{\delta}_{\alpha}}{\partial u^{\beta}}=b_{\alpha \epsilon}g^{\epsilon \gamma}\Gamma_{\beta\gamma}^{\delta}+\frac{\partial \left(b_{\alpha \epsilon}g^{\epsilon \delta}\right)}{\partial u^{\beta}}=b_{\alpha \epsilon}\left(\Gamma^{\delta}_{\beta \gamma} g^{\epsilon \gamma} +\frac{\partial g^{\epsilon \delta}}{\partial u^{\beta}}\right)+g^{\epsilon \delta}\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}\)

而我们知道 \(g^{\alpha \beta}g_{\beta \gamma}=\delta^{\alpha}_{\gamma}\) 所以

\(\frac{\partial g^{\alpha \beta}}{\partial u^{\delta}}g_{\beta \gamma}+\frac{\partial g_{\beta \gamma}}{\partial u^{\delta}}g^{\alpha \beta}=0.\)

于是

\(\begin{align*}  &b_{\alpha \epsilon}\left(\Gamma^{\delta}_{\beta \gamma} g^{\epsilon \gamma} +\frac{\partial g^{\epsilon \delta}}{\partial u^{\beta}}\right)+g^{\epsilon \delta}\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}} \\  =&b^{\zeta}_{\alpha}\left(\Gamma^{\delta}_{\beta \gamma}\delta^{\gamma}_{\zeta}+\frac{\partial g^{\epsilon \delta}}{\partial u^{\beta}}g_{\zeta \epsilon}\right)+g^{\epsilon \delta}\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}\\  =&b^{\zeta}_{\alpha}\left(\Gamma^{\delta}_{\beta \gamma}\delta^{\gamma}_{\zeta}-\frac{\partial g_{\epsilon \zeta}}{\partial u^{\beta}}g^{\delta \epsilon}\right)+g^{\epsilon \delta}\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}\\  =&b^{\zeta}_{\alpha}\Gamma^{\delta}_{\beta \zeta}+g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}-b^{\zeta}_{\alpha}\frac{\partial g_{\epsilon \zeta}}{\partial u^{\beta}}\right)\\  =&b^{\zeta}_{\alpha}\Gamma^{\delta}_{\beta \zeta}+g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}-\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta \zeta}\right)+g^{\epsilon \delta}\left(\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta\zeta}-b^{\zeta}_{\alpha}\frac{\partial g_{\epsilon \zeta}}{\partial u^{\beta}}\right)\\  =&g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}-\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta \zeta}\right)+b^{\zeta}_{\alpha}\left(\frac{1}{2}g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial g_{\beta \epsilon}}{\partial u^{\zeta}}+\frac{\partial g_{\epsilon\zeta}}{\partial u^{\beta}}-\frac{\partial g_{\beta \zeta}}{\partial u^{\epsilon}}\right)-g^{\epsilon \delta}\frac{\partial g_{\epsilon \zeta}}{\partial u^{\beta}}\right)+g^{\epsilon\delta}\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta\zeta}\\  =&g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}-\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta \zeta}\right)-\frac{1}{2}g^{\epsilon \delta}b_{\gamma \alpha} g^{\gamma \zeta}\left(\frac{\partial g_{\beta \zeta}}{\partial u^{\epsilon}}+\frac{\partial g_{\epsilon \zeta}}{\partial u^{\beta}}-\frac{\partial g_{\beta \epsilon}}{\partial u^{\zeta}}\right)+g^{\epsilon\delta}\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta\zeta}\\  =&g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}-\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta \zeta}\right)-g^{\epsilon \delta}b_{\gamma \alpha}\Gamma^{\gamma}_{\beta \epsilon}+g^{\epsilon\delta}\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta\zeta}\\  =&g^{\epsilon \delta}\left(\frac{\partial b_{\alpha \epsilon}}{\partial u^{\beta}}-\Gamma^{\zeta}_{\alpha \epsilon} b_{\beta \zeta}\right).  \end{align*}\)

而由Codazzi方程这个式子是关于 \(\alpha,\beta\) 对称的。

我们还可以分离Gauss方程的含 \(b\) 项和含 \(\Gamma\) 项：

\(R_{\zeta \alpha \beta \gamma}=g_{\zeta \epsilon}\left(\frac{\partial\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta}}{\partial u^{\gamma}}-\frac{\partial\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \gamma}}{\partial u^{\beta}}+\Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}\Gamma^{\epsilon}_{\gamma \delta}-\Gamma^{\delta}_{\alpha \gamma}\Gamma^{\epsilon}_{\beta \delta}\right)=b_{\alpha \beta}b_{\gamma \zeta}-b_{\alpha \gamma}b_{\beta \zeta}.\)

这被称为Riemann记号。这个记号有特点：

\(R_{\delta \alpha \beta \gamma}=R_{\beta \gamma \delta \alpha}=-R_{\alpha \delta \beta \gamma}=-R_{\delta \alpha \beta \gamma}.\)

所以Gauss方程只有一个：

\(R_{1212}=b_{11}b_{22}-b_{12}^2\)

事实上可以证明满足Gauss-Codazzi方程的 \(g,b\) 一定来自一个真正的曲面，换句话来说它是某种常微分方程的可积性条件。

我们也可以把曲面的自然标架结构方程改写成微分形式的版本：

\(\begin{pmatrix}dr_1 \\ dr_2 \\ dn\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\Gamma^{1}_{1\beta} du^{\beta} & \Gamma^{2}_{1\beta}du^{\beta} & b_{1\beta} du^{\beta} \\ \Gamma^{1}_{2\beta}du^{\beta} & \Gamma^{2}_{2\beta}du^{\beta} & b_{2\beta}du^{\beta}\\ -b^{1}_{\beta}du^{\beta} & -b^{2}_{\beta}du^{\beta} & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r_1 \\ r_2 \\ n\end{pmatrix}.\)

如果 \(u^{1},u^{2}\) 是单位正交的，那么这个矩阵将会成为一个反对称矩阵，从而让问题简化。

下面我们来谈正交活动标架。

我们使用 \(e_1,e_2,e_3\) 记正交活动标架。那么应该会有一个与自然标架之间的转移矩阵：

\(\begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}e_1 \\ e_2\end{pmatrix}.\)

我们记 \(A\) 的系数是 \(a^{\beta}_{\alpha}\)。

假设 \(\omega^{\alpha }=a_{\beta}^{\alpha}dr^{\beta}\)，那么 \(dr=\omega^{\alpha}e_{\alpha}\)。我们应该规定 \(\omega^{\alpha}=\delta^{\beta}_{\alpha} \omega_{\beta}\)，也就是不区分 \(\omega^{\beta}\) 与 \(\omega_{\beta}\)，那么也可以写 \(\omega^{\alpha}=\omega_{\alpha}=\langle dr, e_{\alpha}\rangle\)。进一步地我们定义 \(de_{\alpha}=\omega^{\beta}_{\alpha}e_{\beta}\) 的系数 \(\omega_{\alpha \beta}=\omega^{\beta}_{\alpha}=\langle de_{\alpha},e_{\beta}\rangle\)。那么 $\(\omega^{\beta}_{\alpha}=-\omega^{\alpha}_{\beta}\)。于是我们得到正交活动标架的运动方程 \(de_{\alpha}=\omega^{\beta}_{\alpha}e_{\beta}\)。

这个时候的第一基本形式 \(\langle dr,dr\rangle=\langle \omega^{\alpha}e_{\alpha},\omega^{\beta}e_{\beta}\rangle=\omega^{\alpha}\omega_{\alpha}=\omega^{1}\omega^{1}+\omega^{2} \omega^{2}\)。而第二基本形式 \(-\langle dr, de_3\rangle=-\omega_{\alpha}\omega^{\alpha}_{3}=\omega^{1}\omega^{3}_{1}+\omega^{2}\omega^{3}_{2}\) 。

5. 课程内容：第五章

6. 作业和考试题的部分解答

7. 课程的后续建议

附录A：其他有用的评课链接

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近期数学科学学院开设的争议课程评课的链接：

争议不意味着课程本身质量不足，而是大家对课程中部分情况看法不一或者给予差评，不代表本人观点。

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宁吴庆 微分方程引论：微分方程引论（宁吴庆） - USTC评课社区（争议原因：作业量，课程内容，给分杀手和课程教授方式）

赵泉 线性代数(B1)：线性代数(B1)（赵泉） - USTC评课社区（争议原因：课程内容，给分杀手和课程教授方式）

近期数学科学学院开设的热门课程评课的链接：

热门意味着过往开课受到好评，不构成对未来选课的建议。

王兵 复分析(H)(英)：复分析(H)(英)（王兵） - USTC评课社区

赵立丰 微分方程引论：微分方程引论（赵立丰） - USTC评课社区

赵立丰 偏微分方程：偏微分方程（赵立丰） - USTC评课社区

章俊彦 偏微分方程：偏微分方程（章俊彦） - USTC评课社区

王作勤 拓扑学(H)：拓扑学(H)（王作勤） - USTC评课社区

王作勤 微分流形：微分流形（王作勤） - USTC评课社区

王作勤 几何学基础：几何学基础（王作勤） - USTC评课社区

王作勤 数学分析(B2)：数学分析(B2)（王作勤） - USTC评课社区

王作勤 黎曼几何：黎曼几何（王作勤） - USTC评课社区

陈小伍 代数学：代数学（陈小伍） - USTC评课社区

张土生 随机过程：随机过程（张土生） - USTC评课社区

廖羽晨 泛函分析：泛函分析（廖羽晨） - USTC评课社区

许金兴 交换代数：交换代数（许金兴） - USTC评课社区

张磊 代数几何初步：代数几何初步（张磊） - USTC评课社区

杨金榜 代数学基础：代数学基础（杨金榜） - USTC评课社区

刘利刚 计算机图形学：计算机图形学（刘利刚） - USTC评课社区

刘西之 图论：图论（刘西之） - USTC评课社区

许胤龙 图论：图论（许胤龙） - USTC评课社区

刘党政 概率论：概率论（刘党政） - USTC评课社区

黄文 泛函分析(H)：泛函分析(H)（黄文） - USTC评课社区 （存在轻微的争议，争议原因：给分杀手和意外事件）

麻希南 现代偏微分方程：现代偏微分方程（麻希南） - USTC评课社区（存在轻微的争议，争议原因：课程内容）

陈小伍 近世代数(H)：近世代数(H)（陈小伍） - USTC评课社区（存在轻微的争议，争议原因：课程内容和给分杀手）

附录B：视频影像资料

以下是2022年的微分几何(H)视频影像资料，来自哔哩哔哩。版权归制作方所有，请勿用作商业用途。

第一次课：https://www.bilibili.com/video/BV1fgbPzAEt6

第二次课：https://www.bilibili.com/video/BV1cNbPzqEi2

第三次课：https://www.bilibili.com/video/BV1pnb5zTEen

第四次课：https://www.bilibili.com/video/BV1csb5zeEVw

第五次课：https://www.bilibili.com/video/BV1Hsb5zeEKA

第六次课：https://www.bilibili.com/video/BV1N5b5z3ES2

第七次课：https://www.bilibili.com/video/BV1K5b5z3EME

第八次课：https://www.bilibili.com/video/BV1K5b5z3EMH

第九次课：https://www.bilibili.com/video/BV1K5b5z3Evy

第十次课：https://www.bilibili.com/video/BV1N5b5z3E9d

第十一次课：https://www.bilibili.com/video/BV1x5b5z3E3T

第十二次课：https://www.bilibili.com/video/BV1x5b5z3EL1

第十三次课：https://www.bilibili.com/video/BV1deb5z4Eks

第十四次课：https://www.bilibili.com/video/BV1deb5z4Ebc

第十五次课：https://www.bilibili.com/video/BV1ieb5ztE6c

第十六次课：https://www.bilibili.com/video/BV1deb5z4EQw

第十七次课：https://www.bilibili.com/video/BV1deb5z4Et1

第十八次课：（暂缺）

第十九次课：https://www.bilibili.com/video/BV1Zhb5zbEHN

第二十次课：https://www.bilibili.com/video/BV1fhb5z8Euq

第二十一次课：https://www.bilibili.com/video/BV1Zhb5zbEyL

第二十二次课：https://www.bilibili.com/video/BV1Rqb5zsEtC

第二十三次课：https://www.bilibili.com/video/BV1Rqb5zsETX

第二十四次课：https://www.bilibili.com/video/BV1qab5zfEYY

第二十五次课：https://www.bilibili.com/video/BV1oab5zZEWf

第二十六次课：https://www.bilibili.com/video/BV1oab5zZEsw

第二十七次课：https://www.bilibili.com/video/BV1oab5zZEKg

第二十八次课：https://www.bilibili.com/video/BV1VobVzXEqz

第二十九次课：https://www.bilibili.com/video/BV15obVzXENf

第三十次课：https://www.bilibili.com/video/BV1B8b5zcEma

第三十一次课：https://www.bilibili.com/video/BV1aFb5zDERb

第三十二次课：https://www.bilibili.com/video/BV1GFb5zDEHj

第三十三次课：https://www.bilibili.com/video/BV15dbVzWEaV

第三十四次课：https://www.bilibili.com/video/BV1edbVzWEmx

附录C：ChatGPT生成的学习建议

因为如今（2026年）已经是AI的时代了，我们特地让ChatGPT生成了一段学习建议。以下内容来自AI生成，请注意甄别。

##ChatGPT文本生成从此处开始##

\section*{关于《微分几何》课程学习的一些建议}
微分几何是一门非常特殊的数学课程。它一方面继承了数学分析中关于极限、微分、积分的思想，另一方面又引入了几何学中关于空间、形状和结构的观念。初学者往往会感觉这门课程“计算很多”，需要掌握大量公式，例如曲率公式、第一基本形式、第二基本形式、Christoffel符号等等；但如果仅仅停留在公式记忆和计算技巧层面，很容易失去这门课程真正的价值。
事实上，微分几何最核心的问题非常简单：
我们如何利用微积分的方法研究弯曲的空间？
在初等几何中，我们研究直线、圆、三角形等对象，长度、角度和面积都是预先给定的概念。而在微分几何中，我们面对的是更加一般的曲线和曲面，需要重新回答类似的问题：什么是长度？什么是角度？一个空间如何判断自己是否弯曲？这些问题推动了从经典微分几何到现代黎曼几何的发展。
因此，学习微分几何时，一个非常重要的建议是：不要把它看成一门“高级计算课”，而应该把它看成一门关于几何结构的课程。每一个定义背后都有一个几何问题，每一个公式背后都有一个几何解释。
\subsection*{一、首先建立几何对象的直觉}
微分几何中最容易出现的问题，是面对新的符号时只关注形式，而忽略它们代表的对象。
例如，一条空间曲线可以写成：
[
\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)).
]
从分析的角度看，它只是一个三元函数；但是从几何角度看，我们真正关心的是曲线在运动过程中留下的轨迹。
导数：
[
\gamma'(t)
]
表示曲线在某一点的运动方向，也就是切向量。这里的关键不是“计算导数”，而是理解：
切向量描述的是曲线局部的一阶几何性质。
进一步地，二阶导数反映切向量如何变化，因此产生了曲率的概念。曲率并不是一个为了计算方便而定义出来的量，而是在回答：
如果我沿着这条曲线运动，它偏离直线运动的程度是多少？
因此，学习任何定义时，都建议先问自己：
“这个对象描述了什么几何现象？”
如果不能回答这个问题，那么即使公式记住了，也很难真正掌握。
\subsection*{二、曲线理论是理解整门课程的入口}
很多同学认为曲线部分比较简单，因为它主要使用一元微积分知识。但实际上，曲线理论是整门微分几何课程的重要基础。
曲线部分引入的思想会不断出现在后续内容中。例如Frenet标架：
[
T,N,B
]
分别描述曲线的切方向、主法方向以及副法方向。
其中：
[
T'=\kappa N
]
表达了一个非常重要的几何事实：
曲线切方向的变化，总是在法方向上发生。
这其实已经包含了现代几何中的重要思想：几何信息来自对象自身的变化规律。
因此学习曲线时，不应该只满足于计算曲率和挠率，而应该理解：
为什么需要自然参数？
为什么弧长参数具有特殊意义？
为什么曲率和挠率能够决定空间曲线？
这些问题真正理解之后，后面的曲面理论会自然很多。
\subsection*{三、曲面理论的核心：第一基本形式与第二基本形式}
进入曲面部分以后，课程会出现大量新的计算。
一个曲面通常表示为：
[
X(u,v).
]
此时最重要的两个对象是第一基本形式和第二基本形式。
第一基本形式：
[
I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2
]
描述的是曲面内部自身的几何性质。
它回答的问题是：
如果一个人生活在曲面上，只利用曲面内部的信息，他能够测量什么？
答案包括：
长度、角度、面积以及测地线等概念。
例如地球表面上的人，即使不知道自己生活在球面上，也可以通过测量距离和角度建立自己的几何体系。这些信息完全由第一基本形式决定。
而第二基本形式：
[
II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2
]
描述的是曲面如何弯曲到周围空间中。
第一基本形式关注“曲面内部如何测量”，第二基本形式关注“曲面如何嵌入外部空间”。
理解二者的区别，是学习曲面理论最重要的一步。
特别值得注意的是Gauss的伟大结果：
曲面的高斯曲率实际上可以由第一基本形式决定。
这意味着，一个曲面的某些弯曲性质并不是由于它放置在三维空间中的方式决定，而是由曲面自身的内在结构决定。
这一思想后来成为现代黎曼几何的重要基础。
\subsection*{四、理解公式之间的逻辑关系}
微分几何中的公式数量很多，例如：
[
\Gamma_{ij}^{k},
]
Gauss公式，Weingarten公式等等。
初学者容易产生一种感觉：
“为什么需要这么多公式？”
实际上，这些公式并不是孤立存在的，而是在描述同一个过程：
几何对象如何变化。
从曲线开始：
位置变化产生速度；
速度变化产生曲率。
对于曲面：
切向量变化产生联络；
联络变化产生曲率。
因此整个课程可以看成一条逻辑链：
[
\text{位置}
\rightarrow
\text{切空间}
\rightarrow
\text{度量}
\rightarrow
\text{导数}
\rightarrow
\text{曲率}.
]
掌握这条主线以后，公式就不再是一堆需要背诵的符号，而成为描述几何现象的语言。
\subsection*{五、习题应该如何完成}
微分几何习题与分析、代数课程有一个明显区别：
它不仅要求计算能力，也要求几何理解。
建议将习题分成三个层次。
第一层是基本计算。
例如：
计算曲率、挠率；
求第一基本形式；
计算主曲率。
这些内容必须熟练掌握，因为后续理论建立在这些计算基础上。
第二层是理解证明。
例如：
理解Gauss公式、Weingarten公式以及相关定理的证明。
不要只关注证明步骤，而应该思考：
为什么会想到这样处理？
为什么这些量自然出现？
第三层是几何解释。
例如：
为什么球面的高斯曲率为正？
为什么圆柱面的高斯曲率为零？
为什么平面和圆柱在局部具有类似性质？
这些问题往往比单纯计算更能体现微分几何的思想。
\subsection*{六、学习路线建议}
对于第一次学习微分几何的同学，建议以课程讲义和课堂内容为主，逐步建立概念体系。课程参考资料主要围绕经典微分几何展开，也可以结合相关教材进行补充阅读。:contentReference[oaicite:1]{index=1}
推荐学习顺序：
数学分析、线性代数基础
[
\downarrow
]
曲线理论
[
\downarrow
]
曲面理论
[
\downarrow
]
整体微分几何与黎曼几何
如果以后希望继续深入几何方向，可以进一步学习：
微分流形；
黎曼几何；
李群与齐性空间；
几何分析。
但是不建议一开始就跳过经典微分几何。很多现代几何语言中的核心思想，例如切空间、度量、联络和曲率，都可以在经典理论中找到最直观的来源。
\subsection*{七、最后的一点建议}
学习微分几何时，最重要的不是记住多少公式，而是逐渐形成一种几何思维。
数学中的“空间”并不是永远固定的欧氏空间。它可以拥有自己的距离、角度和弯曲方式。微分几何研究的正是这种更加一般的空间结构。
从曲线的曲率，到曲面的高斯曲率，再到现代几何中的黎曼曲率张量，背后体现的是同一个思想：
几何学研究的不是图形本身，而是图形背后的结构。
因此，希望大家在学习过程中，不仅关注“如何计算”，更关注：
为什么这样定义？
这个定义解决了什么问题？
这个公式描述了什么几何现象？
当这些问题逐渐清晰时，微分几何才真正成为一门有生命力的数学课程。

##ChatGPT文本生成在此处结束##

附录D：一点无关的部分

�晚时分，太阳缓缓西沉，天空被染�温暖的橙红色，大海也映照�这美丽的光辉。我们�在沙滩上，��地感�海风拂�，��海浪轻�岸边的声音，心中涌起一股��与满足。天色�暗，我们收拾好行�，虽然有些��，但也明白该回家的时刻到了。在回家的车上，大家都疲惫地沉入梦乡，嘴角�带�微笑，回忆�这段美好的旅程。街头的音�声悠扬而动人，我顺�声音走去，�现一�街头艺人在弹�他唱歌，周围围满了��的人群，空气中弥漫�温暖与欢愉。��，我走进一家��的�店，店内陈设别致，年轻的店员微笑�迎接我，让人感到舒适与惬�。我挑选了一件淡�色的刺绣衣�，心中充满喜悦。夜晚的��街散��烤串�煎饼和奶茶的香味，我买了些食物，�在一�慢慢��，感�生活的温馨与美好。海边的嬉�声�街头的音��商场的�光与��街的香气交织在一起，构�了一个充满生机与温暖的夜晚，让人久久难以忘怀。

附录E：辅助理解微分几何可以执行的计算机代码

附录F：其他

刘世平老师个人主页上对自己的介绍：

Since October 2016, I am working as a Professor at School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China (USTC), Hefei. You can find here useful information about the Hefei City---the captial city of Anhui Province in eastern China.

From October 2013 to September 2016, I worked as a Research Associate in Durham University with Prof. Norbert Peyerimhoff, Dr. Alina Vdovina, Dr. Ioannis Ivrissimtzis, and Dr. Stefan Dantchev for the EPSRC funded project "Topology, Geometry and Laplacians of Simplicial Complexes" (Group Homepage).

I received my PhD (Dr. rer. nat.) degree from University of Leipzig under the supervision of Prof. Jürgen Jost. I spent my PhD study in Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Leipzig, financially supported by CAS-MPG Doctoral Promotion Programme and IMPRS MiS. Before that I was a postgraduate student in Academy of Mathematics and System Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, under the supervision of Prof. Li Jiayu.

I got my Bachelor's degree of Science from Shandong University. My complete CV can be found here (last updated: March 18, 2020).

老师主页上有这门课的讲义， 但普班的部分和H课多出来的部分不在一块， 并且是一个一个lec上传的， 我合并了一下， 这样看起来更方便

微分几何(H)讲义 - 刘世平.pdf

手写的笔记 

Differential_Geometry.pdf

整个学期的授课内容无需赘述（可以看上面的笔记），整体参考彭家贵和陈卿的课本，看起来去年讲了不少微分流形的内容，但今年没有。整个学期下来感觉还是挺舒适的，因为自己几何方面的东西之前有接触，所以中间出现的Christoffel符号计算和1-形式等等内容基本上可以无障碍直接上手。作业整体不多，除了偶尔的一两次，最后几周在讲各种topic的时候甚至没作业了。值得一提的是这学期的助教还是挺神秘，不多说了。

期中和期末考试都不困难，期末更是出了很多作业题和课上算过的东西。不过期末可能很多东西想的不严谨，而且我似乎理解错了什么叫自然标架，扣了不少分。最后应该也是334基础上调个两三分(近似，92+88=95)，在期中期末平均分都差不多80的情况下给分挺不错了，与隔壁hw形成鲜明对比。

发个手写笔记：微分几何（H）.pdf

期中考炸还是要打10分，感觉刘世平老师讲课之流畅乃科大罕有，尤其我这学期带助教讲习题课之后更能体会”不卡壳”的难度。整个课程不仅涉及的主题和方法丰富多样，且始终见证着正交标架这个朴素的工具发挥作用，最后几节课的大定理也听的非常过瘾。有人认为这门课讲微分流形内容劝退，这确实是个很多人都体会到的很大的问题：H课是英才班的H而不止是课程专属的H。在华班，不同学生的兴趣也高度分散，不都是基础方向，因此给进阶内容的讲授带来了掣肘。不过说回到本课程，涉及的微分形式还是很容易的（都在一片local chart上），可以在上课同时翻翻对应的书，记住涉及wedge和d的一些公式就行，如果不额外补的话后几节课刘老师计算一些1-形式时对符号正负的选取估计是看不懂。

给些粗浅的学习建议。这门课的前半部分没什么好说的，就是算两个基本形式。后半部分一定要把正交标架那套语言（后面绝大多数东西的基础）用熟，最好手推一遍，配合题目练一练。复习时感到最难的地方是平行移动/测地线/测地坐标这部分，一些概念容易混淆，性质也可能背错，只能多花点时间了。最后的几个大定理篇幅不小，除了开拓视野，还应重点关注前面的基本语言是怎么用在定理证明中的，刘老师也不考刁钻的证明技术。

调分力度我觉得非常可以的，毕竟期中期末都没有很靠前，有这个分数已经是过年了，或许老师对我们这个班的水平较满意罢。。

       其实刘世平老师讲课讲得还是比较精彩的。原先由于听说古典微分几何已经不再被现代几何所关注，在上课之前已经对这门课有了一定的负面看法...但刘世平老师硬是能把我以为会很无聊的内容讲得很有趣，还是佩服其深厚的造诣。这主要是源于刘老师把历史研究得非常清楚（俞建青老师原话），讲课时候往往会追溯定理和概念的发展过程（几乎每个定理都要写明时间），还会推测历史上一些概念是怎么产生的，绝非照本宣科。

       然而不得不承认，到学期后半段确实出现了一些讲得不太清楚的情况： 一方面老师可能要赶进度，另一方面一部分定理证明的某些阶段相对细碎，所以这时候仅仅就着草图说了一下大致思路，也不在黑板上板书口述的内容（不过后续通常会发讲义或者把没细讲的这部分留做习题，所以也不算草率略过）

       本学期讲课的重点与之前的学期很不同，之前在讲完教材前五章之后仍会顺着后续章节讲整体微分几何。但今年似乎把侧重点放在了流形上，后半学期大段时间花在讲流形方面的一些基础定义，还用新定义把之前学的那些概念重写了一遍。（虽然如此，教材的整体微分几何部分依旧穿插着讲了不少，不过最后期末考试似乎没怎么考整体微分几何的内容）

       刘老师出题的题型据助教说不好判断，但是今年期中期末都是固定的五道大题，每道大题若干小问。老师是会考察课上一些定理证明的：比如期末考了毛球定理的证明，还有Jacobi；期中第一题也是类似于曲线基本定理证明的套路（相比之下，某些代数课的课堂与考试几乎毫不相干）针对考试复习，其实一个较为有效的策略是去看隔壁班hty助教的习题课讲义（特意感谢hty助教！）

       最后附一个今年期末试卷：期末.pdf

更新：期中80期末92总评90，应该就是直接235给的，不过这个卷子难度不调分应该给的也不错了，只可惜期中弱智写错了作业原题😭

这门课的所有特点已经被本学期那位同学的长文详细展现了，在此也就不再赘述了。

这是我第一次不排斥看手写的讲义，甚至我觉得这份讲义是堪称完美的，述尽了古典微分几何的美，同时也把刘老师的数学素养、人文素养、高品味展现地淋漓尽致。还没有出分，但无论给分如何，我都会给这门课打满分！

这学期最大的遗憾是没怎么听过这门课，但是刘老师的讲义写的太好了，让我发自内心的感受到古典微分几何的美。

“自然而真实的。”

普班选H大成功，建议所有想学基数的同学都来选（不管是不是几何方向）

虽然这门课本身过于古典没什么好说的，但是听刘老师的课简直是一种享受。因为这学期也带了一次助教，我现在能深刻的体会到老师能做到流畅的脱稿板书是多么不容易的事情，在此之上还能做到上课，作业和考试内容联系紧密，真的佩服地五体投地。

这学期的后半老师主要讲的还是整体微分几何，个人感觉确实要比在流形上飙车要好得多，毕竟大家也不全是基数批，听点整体里面有趣的结论总比硬学流形有意思。想要走几何方向的建议这学期就直接选微分流形，甚至在这门课的某些时候有帮助。

这门课的给分并不算太好，基本上235基础上还可能往下调整，但是毫无疑问抛开给分看这门课是一门非常好的课。刘老师对数学的 taste 非常高尚，这门课给我最大的震撼，不是整体 Gauss-Bonnet 公式，不是 Gauss 绝妙定理，不是熟知的「地球上必有一点无风」，而是杨振宁先生回忆的与陈省身先生交流的往事，我找到了一个比较完整的版本，来自杨振宁《曙光集》原载《纪念陈省身文集》，将其放在下面：

　　1930年秋，陈省身先生在清华大学注册为算学系的研究生。我父亲杨武之当时是该系的教授，我们住在清华园内。那年陈先生曾多次来我家。我那时在读小学四年级，刚刚八岁，曾见过陈先生几次。没有想到几十年以后我们两人的学术工作虽在不同的领域，却都走到了同一胜地。今天写这篇纪念陈先生的短文，回想起我们的生平，觉得我们二人当初似乎是在爬同一座大山，自不同的山麓开始，沿着不同的途径，却没有认识到我们攀登的竟是同一高峰。

　　陈先生在清华毕业后去了欧洲深造。1937年回国后在昆明西南联合大学数学系任教授。我在1938—1942年是该校物理系的本科生。陈先生当时是有名的年轻教授，我曾经选过他的微分几何课。陈先生教课认真而有条理，记得我听课时对曲线和曲面的几何都很感兴趣。1943年，陈先生应邀去普林斯顿高等研究中心做研究。在那里的两年时间里，他将微分几何领入了新的领域。此新领域以后在他的领导下迅速发展，成为20世纪基础数学一个最重要的分支。

　　1945年11月我去美国以后，曾于那年12月在普林斯顿，又于1949年元旦在芝加哥和陈先生两次小聚。1949年夏，陈先生就任芝加哥大学教授，60年代初转去伯克利。此期间直到70年代，我们在芝加哥、普林斯顿、伯克利曾多次见面。我们每次见面谈到的题目很多：朋友、亲戚、国事、家事，可是几乎完全没有谈到我们二人的研究工作，虽然我十分了解他已经是20世纪世界级的数学大师了。

　　数学和物理学早年本来有密切的关系，可是自19世纪中叶以来，二者的前沿发展渐渐走了不同的方向。芝加哥大学前数学系主任斯同 (Marshall Stone，1903—1989) 教授就曾发表过一篇有名的文章：《数学的革命》，其中有这样一段话 (我的翻译)：1900年以来对于数学的看法有了一些重要的改变，其中真正革命性的发现是：数学原来完全与物理世界无关。就像斯同所说的，当时大家认为整个近代数学都与“物理世界”没有关系。

　　但是斯同的说法完全错了。

　　当我和陈先生谈到各自的学科时，我说：“这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为，你们数学家居然能不涉及物理世界凭空想象出那么些概念。”他立即反对说：“不，不，这些概念不是想象出来的。它们是自然而真实的。”为什么造物者选用了“自然而真实的”但是极抽象的数学观念，来创建物质世界，恐怕将是永远不解之谜。70年代震惊于此不解之谜之后，我写了一首小诗：

　　天衣岂无缝，匠心剪接成。

　　浑然归一体，广邃妙绝伦。

　　造化爱几何，四力纤维能。

　　千古寸心事，欧高黎嘉陈。

是啊，「自然而真实的」！当时是一个普通的冬日下午，我难得在学校里面看书，图书馆的暖气让我昏昏欲睡，但不得不准备微分几何的期末考试，需要阅读讲义，但当我阅读到讲义中这个故事时，尤其是看到「自然而真实的」这五个字的时候，我的一切困意全部消失了，取而代之的是深深的敬佩与无限的思考。从我进入学校以来，学到的每一门课，真正能够体现数学的自然和真实的，又有多少呢？似乎，在 Bourbaki 学派于近百年前划定的教学框架下，在一篇篇从抽象定义到抽象定理为主的文章、教材如潮水般层出不穷的今天，能将概念描述的自然而真实，真的已经变成了非常可贵的东西了啊！我想，刘世平老师的微分几何 H 课程，做到了这一点。从 Gauss 曲率到形算子，从正交标架到整体 Gauss-Bonnet 公式，整个理论的搭建一气呵成，但每一个概念的引入，却是十分自然，无一不体现着研究嵌入三维空间中曲面的真实性质，从这个角度来说，这就是一门不可多得的好课程。可惜的是，本人直到期末才意识到这一点，因此错过了刘老师的线下课程，但是从其讲义的写作上来看，刘老师是真的把这五个字镌刻在了这门课程的方方面面。回望科大开的本科生课，基础课如数学分析和线性代数不用说，因为苏联引进的体系化的教学和其本身概念的易于理解，和自然、真实并不沾边；再看专业的基础课如实分析、复分析等等，我想，真正做到了这五个字的可能只有 🚀 的拓扑 H，wb 老师的复分析 H 英，和 cxw 老师的近世代数 H 了，这些课虽然给分不一定好，但是却能给一个刚接触到一点称不上是「数学」的本科生，体会到何为

自然而真实的。

非花瓣人，这学期为了避开两个微几普班来选了刘老师的班。

刘老师的授课水平真的非常高，上课时节奏很快但又从容不迫，并且老师的讲义读起来也让人十分舒适，能真正让人从中感受到几何的美感。寒假结合老师的讲义复习效率max，相比这学期的高等实分析讲义实在是天壤之别了。

课程前13-14周基本按照彭、陈的微分几何讲，区别在于补充了不少几何动机，并且调整了一些顺序。后面讲整体微分几何部分，这块内容相比要难一截，当时啃的时候也费力一些，不过也真的十分有趣，大致囊括了整体曲面、Poincare- Hopf定理、Jacobi曲线定理、Liebmann定理、卵形面，以及完备曲面、Willmore猜想等。

考试其实比我预想的要简单一些，都以计算为主，不过技巧性要强一些。期末比期中难一点，第一题就把CPU干烧了（只重点复习了整体微分几何部分，第五章看的有点少:/）不过老师最后还是捞了一档，成功4.3。当然这门课抛却给分不看也是极为难得的上乘课程了。

结论：超好，甚至建议普班直接来选H。

课程方面，刘老师的讲课是非常舒适的，哪怕是比较无聊的计算过程，刘老师也能让我听得进去。这学期的授课内容是教材局部微分几何的整体和整体微分几何的局部（以七八章为主），并且以比较严谨的张量写法替代了书上一些口胡内容。后期整体微分几何的部分还是颇有难度的，不过仔细研究还是能理解证明（只是想不到/算不出罢了）。作业后期有一些比较阴间的题目，不过大部分能在往年讲义上找到照抄的，所以问题不大。

考试方面，期中考试挺简单，完全没有为难大家，还出了书上习题的一些原题。期末有一些阴间判断题搞心态，这里放一下我们第一大题，判断以下四句正误，并说明理由/给出反例（一共24分 我错了俩）：

渐近线+测地线→直线

渐近线+曲率线→平面曲线

测地线+平面曲线→曲率线

曲率线+平面曲线→测地线

（后面还有判断一个给出第一基本形式的曲面是否完备(积分得到u线长度有限所以不完备，听说黎曼几何考了基本一样的东西)、能否嵌入紧凸曲面(不能，K会趋于无穷)，很遗憾曲面完备我也没想到，最后期末喜提82

给分方面，应该是在严格334基础上普遍往上调了一档，对于这个试卷难度，算是蛮不错的给分了。所以，为了刘老师的个人魅力，确实值得一冲（x

顺带一提，lxy助教可能是我见过的最惨助教了（名场面：“没有人 我把讲义发群里了”

强烈推荐，刘老师讲课讲的非常好，期中期末考试题都出的非常合适，还是挺能有效反应学生水平的。

教材是cq、pjg的微分几何，但讲法不太一样，讲课方式充满了浓浓的黎曼几何，这边建议先学黎曼几何再学微几（bushi），什么Christoffel符号，黎曼曲率张量，gauss绝妙定理，测地线方程都能更加准确地记住。

给分也挺好的，以前流传着刘老师不喜欢调分的说法，但这学期还是调了的。

非几何人，不知道这门课对后续学习有什么用处。

但刘老师讲课如行云流水般十分流畅，即使没有预习直接听也听得非常舒服。讲课基本上按照彭家贵、陈卿的《微分几何》，但是在一些细节和逻辑上有一些出入，也会在引入一些概念的时候用一些计算来说明一些动机。像我这样容易开小差的只能把板书拍下来课后重新理一遍，也可以参照老师主页上往年的讲义。

由于是华班的课，课时比较充足，相比于普通班多讲了一些整体微分几何的内容（对应于教材的7、8两章）。

平时作业不多，都是书上习题，一星期五道左右。习题课似乎几乎没人去，可能是因为助教开学就把教材习题解答发群里了（但毕竟是华班，这么做也没啥问题）。助教似乎也不怎么打算在习题课上讲习题（毕竟看答案就能看明白了），讲义的内容更多是一些相关内容的拓展，学了这门课就能看懂。

期中期末都不算很难，但是会有微分几何这门课该有的计算量（或者是要会巧算，比如期末某题？）。本人期中考的还行导致期末复习掉以轻心考出来有点爆炸。之前听说老师按比例算不调分还有点难受，最后总评在334的基础上高了一档。

相比隔壁泛函分析，微分几何上课的可听性显著要好的多。

具体课程内容就不多说了，别的评课也写的很清楚。我简单说一下感受，我是最讨厌几何的，也完全没有几何直观，但上完这门课竟然也对几何产生了一些兴趣，内蕴几何的idea到后面整体的精妙结论，感觉都非常美丽，老师上课和讲义上的思想也讲的很好。虽然我经常会想为什么我学统计要学微分几何，不过这门课上完也让我感觉学到了不少东西和思想，还是很有收获的。不过以后应该也没有机会再去学几何了。

作业量也不是很大，其实我觉得作业整体品味还是可以的。今年考试期中比以往难，期末非常简单，然后235不调分，甚至对平时分卡的很严，这也就导致了4.3很难而4.0很容易。

内容很丰富，讲义很细致，考试很简单，而且刘老师的字写得非常好，和隔壁高等实分析、泛函分析形成了鲜明对比。

授课内容和顺序安排的匠心独具之处已经有详细记述。另外印象较深的一点是微分几何要求的基本的计算能力，拿到一个对象，从选定参数化和标架开始，要把剩下的一切都细致地挖掘出来。有人提及因为不调分A+给得很少，其实期中期末全部题目做出来并没有什么困难之处，因此刘老师应该也觉得没有任何调分的必要。但是相比之下旁边非H课拿到高总评实在是太容易了，这依然还是除了实分析H之外所有H课的通病吧。

出分了，来给义父提提分

我学计数的而且非华班，选这门课只是想学一下整体曲面，但老师还讲了抽象曲面，这让我非常痛苦，因为完全不感兴趣而且听不懂，所以建议计数人还是老老实实选正常的课吧

点评一下微分几何H！

课程框架：

（由于这门课是我一年前修读的，现在忘了不少东西，再加上有的同学写课程内容写得很完整且自己有点懒，因此我写得比较简略）

首先，这门课研究光滑曲线，给出了弧长、曲率和挠率的定义，展示其与Frenet框架的联系；三条曲线论基本定理是这块内容的高峰。之后，我们研究曲面，先接触第一基本形式（代表“弧长微元”的平方），随后学习第二基本形式（刻画形状，或者说刻画弧长微元在法向量上的投影），后面的法曲率（曲面上的曲线的曲率关于曲面法向的投影）进一步展示了第二基本型的意义，而Weingarten变换则清晰地表示了法曲率的大小。若设Weingarten变换的特征方向为主方向，可得一个优美的结论：主曲率不等时，主方向正交，进而又得到了Euler公式。这些内容主要还是基于直观理解而非计算，学起来比较愉快。

之后，我们学习自然框架的运动方程，也就是求r(u,v)对参数u或者v的导数，如何用自然框架的线性组合表示，随后根据光滑函数求偏导可自由交换，得到了曲面结构方程Gauss-Codazzi。最后，我们引入了正交活动标架，用一阶微分形式简洁地表示了第一、第二标准形式。从运动方程到曲面结构方程，主要是利用“暴力计算”发掘曲面参量的隐藏规律，由于计算过程繁琐，第一遍学习时容易吃力或者望而生畏，但自己动手算一遍后就不觉得高深了。

随后就到期中以后的内容。首先给出：曲面的Gauss曲率仅仅由第一形式给出，随后引入协变微分，测地曲率/测地线。我觉得测地曲率/测地线这部分内容有点奇怪，当时领悟了挺久才大致感知到其中的内涵。

最后，我们研究了曲线、曲面的整体性质。其中，Gauss-Bonnet公式是最有趣的，在后面又有不少有趣的小定理（对紧致凸曲面，H/K是常数等价于球面；对紧致曲面Gauss曲率是常数等价于是球面；不存在负gauss曲率的完备曲面等等），印象比较深的是刘老师不会严格按照书上的证明写板书，有时会提出自己的思考和不同的解法。

课程体验：

刘老师清晰而流畅的表达，详细而工整的板书，平稳而渐进的授课节奏，给我留下深刻的印象。虽然我是研究概统的学生，但刘老师带领我离开自己的“小天地”，展望微分几何的美妙星空的那段时光令我难忘。尽管当时只是粗略地了解了一些微分几何领域的皮毛（现在也忘了不少的内容），但我记得，当时的自己，在对绩点的追求、对科研的追求、对出国申博的追求，种种欲念与压力夹杂胁迫之下，竟然喜欢上这门与自己的研究方向、自己的前途基本毫无关联的课程，而且学到有趣的定理、特殊的思路与方法，或者在经历好长一阵暴算成功验证各个结果时，居然感受到了温暖与充足，甚至充满快乐地发出感慨——没有修饰与装裱，没有浮躁与喧嚣，却能够跨越领域、震撼人心，使一切浮华色彩黯然褪去，这便是逻辑之美、真理之美！

考试建议：

对于期中考试，建议刷往年题。除此之外，建议考前提升一下不断计算的感觉（先验算作业题，再验算课本定理），考试最后十分钟用来检查一下计算结果。此外，刘老师在试卷开头给出了最后要用到的Codazzi定理，非常友好。

我感觉2024秋期中考试比较简单，最后一题（证明直纹面）有些不好想，我以前无意中看到过类似做法，因此顺利通关，考得挺高。

关于期末考试，与小平消灭定理一样，我理解错了自然标架，同时第一题第一问的符号弄错了（把-t写成t了），导致第一题暴扣8分，所幸后面基本全对，考得不错。另外就是，期末的作业题含量很高，因此一定要重视作业。

由于这一年的助教是直接拍同学的作业作为作业答案的，而这些同学的作业（也包括我的作业）中包含一些助教貌似没看出来的错误步骤。期末考试考到了一道作业题，用群里的同学作业的解法是错误的（前面都对，最后错了，功亏一篑）。因此大家以后学习这门课时，务必在期末考前把作业题彻底弄懂，而非记住一个貌似正确的答案然后考试时根据记忆“拟合”，微小但致命的逻辑错误难逃刘老师的法眼。

关于给分：

貌似很好，与黄文老师的泛函分析H有天壤之别。

虽然以后我不会专门学习几何了，但是

We had some wonderful time together!