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数值分析PPT 2026（徐岩、夏银华）.pdf

期中考试：喜欢纯手算（没有计算器）对数据点

xVals = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
yVals = {6, 2, 3, 9, 14, 10, 8, 5}

用多项式 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx +c\) 进行最小二乘拟合吗？

结果是优美的

这门课总体还是比较水的课，内容比较基础，但是作业有点多，每周一次实验和一次作业，作业大约五道题，多的时候有十几道题。作业题也主要就是一些重点内容，如果把作业和实验搞懂基本上应该就没问题了。我每次都是让ai帮我写题目然后我看着现学再改一改，有不懂的再问ai；实验就直接让ai完成代码和报告了。这样一来其实轻松了不少，但是也能快速学懂关键的知识。使用ai的过程中也很明显的感觉到这个学期使用ai的体验比上个学期好很多了。我记得我大二的时候经常听到学长说计算方向大三特别忙，现在看来我属于是吃到ai的红利了。

这个课是十二周的课，前八周由夏银华老师讲插值和数值微积分，后四周徐岩老师讲数值ode，加上后面的进阶课四周由徐岩老师讲多重网格法，正好是每位老师讲八周。夏老师讲完前八周的内容安排了一次期中考，第十二周又马上期末考，说实话安排有点挤。

这门课用的教材是David Kincaid的Numerical Analysis，基本上讲完了6~8章。上学期陈先进老师的数值代数讲的是这本书的前五章，所以这门课思路上和数值代数还是比较一脉相承的。这些内容确实也都是数值计算方向比较基础的内容了。

考试前一节课徐岩老师会划一个考试范围或者说重点，虽然范围也比较大，但是像B样条这种比较繁琐的内容就没有在考试范围里。另外考试会有一个证明题，要你写出一个上课讲的定理并且证明，考前一节课徐老师也列举了七个可能考的定理，考前背一背就好了。

期中考主要是一些关键的计算，诸如Newton差商表、最佳逼近、三次样条、待定系数法求数值积分公式等等，总体比较简单。期末考的难度比较大，题量也比较大，主要是一些证明。考前我看到评课社区有学长分享的前年的原题，但是我也只草草看了几眼，结果考了三个原题（哭），另外期中和期末居然都考了同一个三角插值误差估计。期中分布不详，期末平均分49.16，中位数51。

给分：期中81，期末80，作业实验全满，总评92

总结：这门课接着数值代数讲解了一些数值计算方面的基础内容。不过十二周的课，基本上每周一次作业一次实验的频率，加上一次期中一次期末，事情有点多，但是合理运用ai也还好。

点评一下数值分析！

课程内容:

因为我是大四下学期学这门课的（想了解一些计算数学方面的基础知识），所以基本上没有去听课。以下内容根据作业猜测整理得到：

这门课用的教材是《数值分析》（David Kincaid，Ward Cheney）第三版。首先，我们进行任意连续函数的多项式逼近。为此，我们考虑插值法，也即对选定的，区间[a,b]上的n+1个不同点，列出f在上面的取值，随后求解出唯一的、次数不超过n的多项式p(唯一性、存在性由多项式插值定理保证)使得p在这些点取得f的值，并用p来近似f。下面问题来了：“最大模”误差是多大？有没有估计？为此，我们引入差商（又称均差）的定义，并用它表达出了p的形式和误差项，同时根据高价均差定理，得到了其递推式（被用来构造差商表）和理论估计式（f[x_0,…,x_n]=(1/n!）f^{(n)}(\varepsilon) ），进而可得最大模误差估计。紧接着，我们可以将不同点插值推广为同点插值（每多出现一次，该点导数的要求增加一次），多项式插值唯一性定理保证插值多项式唯一且其具体形式与不同点的情况如出一辙。最后，我们利用经典的Hilbert空间/内积空间理论，迅速解决二次最佳逼近问题。以上是这一章重点内容。

这一节还有一些内容：切比雪夫交错定理、切比雪夫多项式性质、PPT里的傅里叶插值误差估计、高维插值定理（Gasca&Maeztu, Chung&Yao, Shepard插值）、三角插值与快速傅里叶变换基本定理。我觉得切比雪夫交错定理、切比雪夫多项式性质、PPT里的傅里叶插值误差估计最好在考前熟记，其他的学有余力可以看看。

随后就到了数值微分+数值积分。关于数值微分，我们会用理查森外推给出比简单差商更精确（也更丑陋）的估计。关于数值积分，别忘了我们曾用多项式p在 [a,b]上逼近f，我们也可以用p的积分逼近f的积分，误差就由上一章的估计推导而成；通过这种方法可得复合梯形法则、辛普森法则。再然后就是高斯求积公式：\int_a^b f(x) dx 用 \sum_{i=0}^n A_i f(x_i)估计，如果\{x_i\}取定则通常只能对n次（及以下）多项式精确，但\{x_i\}可任取时，可以巧妙地证明它取n+1次的正交多项式的全部n+1个不同零点（可以证明零点确实是不同且在相应区间上的）时精度最大，可达：对2n+1次多项式精确成立。最后，我们学到了龙贝格算法。

在本章中，虽然龙贝格算法、理查森外推重要，但不容易考，因此考试的重点主要在多项式积分逼近结果（如误差估计）、高斯求积公式等内容。

最后，我们学到了常微分方程数值解，授课老师从徐老师转为夏老师。对于单步法，没有什么难的内容；对于多步法，我们既关心收敛阶数（通常很高），又关心稳定性（阶数高则通常表现不佳）。收敛阶高，说明单步的精度高。稳定性强，说明初值的微小扰动不会在很多轮后爆炸，吞没真实数值。我们定义p、q多项式（P445），可以迅速判断稳定性和相容性。有个重要定理，相容（可以理解为至少一阶精确）+稳定等价于多步法收敛（步长趋于0，误差趋于0）。最后，我们学习了A稳定，指代稳定区域包含复平面左半部分（实部<0）。

关于考试：

期中的大部分题目都很正常，除了：

这道题出现在闭卷（无计算设备）考试中，不知道是在干什么。

期末考试大部分题目都正常，除了第三题：考场上没有给出r属于Z然后让我证明逼近精确，我直接不知所措：复化梯形公式居然能对严格凹的函数精确？！

后来出分了，我期中=期末=总评，取得了一个高分（sorry）。因为只有一个数据点，不知道老师给分怎么样，所以给分一栏随便填的。

关于老师：

我的听课次数非常少，从我参加的几次课中，感觉两位老师讲得都很好。另外，徐老师不允许我们使用matlab，希望我们使用底层语言（C，C++等）或者北太天元来做实验。

26年期末第八题，源于26年丘赛的计算数学一道题目。当时那道题目是让我们求方法是 A-稳定的充要条件是什么，而这道题直接让我们求证方法是 A-稳定等价于xxx，难度降低了不少。感谢老师。

备考建议：

认真复习以上重点通常即可考70或者80以上的分数。如果期末想冲击接近满分的分数，建议做一下丘赛题（23年秋季期末第五题、24年期末第五题、26年期末第八题都是丘赛题，这三题都是相对不好做的题），不会做的话问gpt。为什么期中没有出丘赛题？因为丘赛初试在五月，期中考在四月。

教材和上学期数值代数一样，用的DavidKincaid的数值分析，这学期讲了6-8三章，分别是函数逼近，数值微分与数值积分，数值微分方程。

12周的课，夏老师上前8周，内容是前两章。后4周是徐老师上数值ODE，但由于放假冲掉了，实际ODE只有2周半的课。

夏老师的风格怎么说呢，给人的感觉还是很喜欢数学和教学的，上课的时候总是笑，思路和表达都很连贯，并且不怎么按照ppt来讲，主要还是板书，也导致了一走神就容易漏掉重要信息。

徐老师的板书就是在解释ppt里面的一些推导，然后ppt内容其实就是课本内容，比较常规吧，但上课听着还是挺明白的，偶尔走神也能跟得上。

作业我是感觉偏多了点，12周好像布置了14还是15个程序作业，要求用北太天元写，不建议用科大正版网站上面那个，版本太老了，用那个写能不红温的也是超人了，新版本总体还是比较接近matlab的，用起来也没什么障碍。每周书面作业题量也不少，虽然说这本书的纸面作业不太难。

期中考试偏计算，考了一道三角逼近，当时上课这段就没听懂，复习的时候也没怎么看这部分的笔记，自然也是完全不会做。

期末个人觉得难度挺大的，不知道有没有人完整做出第六题的，大家考的也不好，均分49，好像只有一个80以上的。不过和之前那份23年考题重合的部分蛮多的，也出了好几道原题，最后多步法祖传题似乎是年年都这么考，考前准备一下还是有好处的。

给分我觉得一般，我是期中90期末73总评90，优秀率应该给满了，貌似没有4.3的，虽然大三下这点分也没那么重要了。

本课程主要分成3个部分:1.函数插值算法。2.数值积分算法。3.数值微分算法(ODE)

作业分为书面作业和程序作业，每周一DDL的时候大概花一个下午和半个晚上就可以自学完上周内容并且写完上周作业。

给分还可以。作业全满，期中90/100,期末68/100(均分49)，最后总评是90。

考期末的时候发现至少有3个原题(包括最难的2个题)，但是因为复习时间紧张扫一眼就过了(哭)。

平时分基本给满，期中期末都70+，比平均分高一点，有3.7应该给分算是不错了。

不过这门课确实有点水，书面和程序作业很容易，所以基本没人听课。

这次期末感觉也没前几年那么难，不过考前一节课老师说期中前占50%以上，但是感觉没考什么内容，最后几道大题似乎都是期中后的内容，无效复习++